ใบความรู้ที่  6

เรื่อง เซตและ  การให้เหตุผล

1.  ความหมายและการเขียนเซต

 

 

เซต คือ ลักษณะนามที่เราใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เช่น กลุ่มของคน สัตว์ กลุ่มของสิ่งของเป็นต้น และสิ่งต่างๆ ที่อยู่ในกลุ่มว่า “สมาชิก”

          สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่เซต เขียนแทนด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กในภาษาอังกฤษ เช่น a,b,c,.....

          ชื่อเซต เขียนแทนด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ในภาษาอังกฤษ เช่น A,B,C,........

1.1   การเขียนเซต

การเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ

(1)  แบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขียนเซต โดยการเขียนสมาชิกทุกตัวลงใน วงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวในเซตนั้น

                             เช่น เซตของชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์ เขียนเป็นเซตแบบแจกแจง สมาชิกได้ดังนี้

                   - เซตที่มีสมาชิกประกอบด้วย วันจันทร์,วันอังคาร,วันพุธ,วันพฤหัสบดี,วันศุกร์,วันเสาร์,วันอาทิตย์

เขียนแทนด้วย  A = {วันจันทร์,วันอังคาร,......,วันอาทิตย์}

         

 

เขียนแทนด้วย  B = {  x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ }

(2) แบบบอกเงื่อนไข เป็นการเขียนเซตโดยเขียนตัวแปรแทนสมาชิกทุกตัวของเซต และหลังตัวแปรมีเครื่องหมาย  l (โดยที่) ตามด้วยการบอกสมบัติของสมาชิกเช่น { a,e,i,o,u }เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไข ได้คือ

 

 

2. ชนิดของเซต

 

 

          เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราศึกษาเขียนแทนด้วย  “µ”
          เซตจำกัดเซตอนันต์ และเซตว่าง

                   เซตจำกัด         คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้ เช่น

                   A = { 1,2,3}   มีสมาชิก 3 ตัว

                   B = { วันจันทร์,วันอังคาร,…..,วันอาทิตย์ }  มีสมาชิก 7 ตัว

เซตอนันต์        คือ เซตที่ไม่สามารถระบุจำนวนสมาชิกได้ เช่น

                   A = { 1,2,3,…..}  

                   B = { y | y เป็นจำนวนนับ และ 2 ‹ x ‹9} 

เซตว่าง           คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก จะใช้สัญลักษณ์    หรือ { }เช่น

                   A = { y | y เป็นจำนวนนับ และ 2 ‹ x ‹3} 

 

 

 

 

3. เซตที่เท่ากัน และเซตที่เทียบเท่ากัน

                  

 

 

*บทนิยาม เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเท่ากัน กล่าวคือ สมาชิกทุกตัว A เป็นสมาชิก Bและ สมาชิกทุกตัวของ B เป็นสมาชิกของ A A เท่ากับ B เขียนแทนด้วย A = B และ A ไม่เท่ากับ C เขียนแทนด้วย A ≠ C

          เซตที่เท่ากัน

 

 

 

 

 

เช่น  กำหนดให้            A = {a,b,c}       , B = {a,b,a,c}   ,C = {1,2,3}

          จะเห็นว่า         A และ B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ดังนั้น A = B

ส่วนA และ B มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน แต่มีสมาชิกไม่เหมือนกันทุกตัวจึงถือว่าเซตทั้งสองไม่เท่ากัน

ดังนั้น A ≠ C

เซตที่เทียบเท่า

บทนิยาม  กำหนดให้ A และ B เป็นเซตจำกัด A เทียบเท่า B ก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีจำนวน สมาชิกเท่ากัน  A เทียบเท่ากับ B เขียนแทนด้วย A           B

 

 

 

 

 

เช่น    กำหนดให้         A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} , C = {3, 2, 1}

วิธีทำ   จะเห็นว่า         A1   B แต่ A  ≠ B

A1  C แต่ A ≠ C

B1  C และ B = C       

4. สับเซต

นิยาม     A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B                  A เป็นสับเซต B เขียนแทนด้วย A  B                  A ไม่เป็นสับเซต B เขียนแทนด้วย A B

 

 

 

 

 

 

เช่น  กำหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2, 3, 4} จงพิจารณาว่า A เป็นสับเซตของ B หรือไม่ และ B เป็นสับเซตของ A หรือไม่

วิธีทำเนื่องจาก สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

ดังนั้น             A  B

แต่  มีสมาชิกบางตัวของ B คือ 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A

ดังนั้น             B A

 

 

 

          4.1สับเซตแท้

A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B และ A ≠ B

 

 

เช่น      A = {1,2}

                   สับเซตของ A คือ Ø, {1}, {2}, {1,2}

                   สับเซตแท้ของ A คือ Ø, {1}, {2}

ข้อสังเกต

 

 

ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว แล้วจำนวนสับเซตแท้ของ A คือ 2 - 1 สับเซต

          สมบัติของสับเซต

          กำหนด A, B และ C เป็นเซตใด ๆ

                   1. Ø A ,Ø  B, Ø  C (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต)

                   2. A A , B B , C C

                   3.ถ้า A  B และ  B C แล้ว A  C

                   4. A  B และ  B A เมื่อ A = B

 

 

5. เพาเวอร์เซต

 

         

          บทนิยาม  สำหรับเซต A ที่เป็นเซตจำกัด เพาเวอร์เซตของ A คือ เซตที่มีสับเซตของเซต A เป็นสมาชิก

ใช้สัญลักษณ์ P(A) แทนเพาเวอร์เซต A

ดังนั้น  P(A) = {x|x  A}

เช่น กำหนดให้ A = {1,2}

A มีสับเซตทั้งหมดคือ Ø, {1}, {2}, {1, 2}

P(A)  =  { Ø, {1}, {2}, {1, 2}}

          สมบัติของเพาเวอร์เซต

                        กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ

1.       A P(A) เพราะ A A

2.       Ø P(A) เพราะ Ø A

3.       Ø (P)A เซตว่างเป็นสับเซตของทุก ๆ เซต

4.       ถ้า A เป็นเซตจำกัด และ A มีสมาชิก n ตัว แล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2 ตัว

5.       A  B  ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)

6.       P(A) P(B)= P(A B)

7.       P(A) P(B) = P (A B)

 

--------------------------------------------------------

 

Eเรื่อง ยูเนียน

บทนิยามยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ A หรือของ B   ใช้สัญลักษณ์  A È Bแทน ยูเนียนของเซต A และ Bสามารถเขียนเป็นเซตแบบบอกเงื่อนไขได้คือ

          ตัวอย่างที่ 1      ให้ และ

                   \จะพบว่า สมาชิกที่อยู่ใน A หรือใน  B คือ 1, 2, 3, 6, 7 (คือการเอาสมาชิกของ A กับ B มารวมกัน แต่เนื่องจาก 1 มีซ้ำกัน 2 ตัวเราก็เอาเพียงตัวเดียว)

                  

 

          ตัวอย่างที่ 2      ให้  และ จงหา

                   วิธีทำ             เนื่องจาก 

                             เนื่องจาก 

                                     

                            

                             หรือ  

          ในทำนองเดียวกัน การใช้แผนภาพแสดงเกี่ยวกับผลของการยูเนียนเราสามารถกระทำได้ดังนี้

A

B

U

A È B คือส่วนที่แรเงาในแผนภาพ

A

B

U

A

B

U

B

 

 

 

 

 

A ÌAÈ B และ  BÌ A È B    กรณีที่  A Ç B = Æ    A È B = B เมื่อ A Ì B

สมบัติที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับยูเนียน

1)  A ÈA = A                                        2)  AÈÆ = A

3)  A È U = U                                                4)  AÈ B = B È A

5)  A È (B È C) = (A È B) È C               6)  AÌ B ก็ต่อเมื่อ A È B = B

7)  A ÌAÈ B และ B Ì A È B                  8)  ถ้าA È B = Æจะได้ว่า A = Æและ B = Æ

9)  A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)             10)  A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

 

 

 

 

 

 

Eเรื่อง อินเตอร์เซกชั่น

บทนิยามอินเตอร์เซกชั่นของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกทั้งของ A และ B ใช้สัญลักษณ์  A Ç B  แทนอินเตอร์เซกชั่นของเซต A และ B  ซึ่งสามารถเขียนแทนด้วยเซตแบบบอกเงื่อนไขคือ 

          ตัวอย่างที่ 1ให้ และ จะพบว่า สมาชิกที่อยู่ร่วมทั้งใน เซต A และ B คือ 2 กับ 3

          ตัวอย่างที่ 2ให้เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตของจำนวนเต็มบวก A คือเซตของจำนวนคี่และ B คือเซตของจำนวนที่เป็นพหุคูณของ 5 จงหา A Ç B

                   วิธีทำ    เนื่องจาก เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

                            

เพื่อให้นักเรียนได้เห็นภาพของเซต A Ç B ได้ชัดเจนขึ้น เราอาจจะนำแผนภาพเวนน์– ออยเลอร์ มาช่วยแสดงให้เห็นถึงลักษณะของ A Ç B ได้ดังนี้

A

B

U

ให้ส่วนที่เป็น A Ç B คือส่วนที่แรเงา

A

B

U

A

B

U

 

 

 

 

    A Ç B Ì A และ  AÇ B ÌB         A Ç B   = A   และ A Ì B            กรณีนี้ A Ç B   =  Æ

สมบัติที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชั่น

1.       A ÇA = A

2.       A ÇÆ = Æ

3.       A Ç U = A

4.       A Ç B = B Ç A

5.       A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

6.       A Ì B  ก็ต่อเมื่อ A Ç B = A

7.       (A Ç B) Ì A และ  (A Ç B) Ì B

 

 

 

 

 

 

 

 

Eเรื่อง คอมพลีเมนต์และผลต่างของเซต  

บทนิยามผลต่างของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   A – B = {x|xÎ A แต่  x Ï B}

          ตัวอย่างที่ 1      ให้  และ

                             จะพบว่า  สมาชิกที่อยู่ใน A มี 1, 2, 5, 7

                             แต่เนื่องจากสมาชิก 5, 7 อยู่ใน B

\  สมาชิกที่อยู่ใน  Aแต่ไม่อยู่ใน B คือ 1, 2

\  A – B = {1, 2 }

          ตัวอย่างที่ 2      ให้  จงหา A – B และ B – A

                   วิธีทำ    1.    หา A – B สมาชิกที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ใน B คือ 1, 2

\  A – B = { 1, 2 }

          2.    หา B – A            สมาชิกที่อยู่ใน  Bแต่ไม่อยู่ใน  A คือ 7, 8, 9

\  B – A = { 7, 8 , 9 }

ข้อสังเกต  จากตัวอย่างที่ 6  นักเรียนจะพบว่า A – B   ¹B – A

สิ่งที่ควรศึกษาเพิ่มเติม

          จากความหมายของ A – B = {x|xÎ A แต่  x Ï B} เราสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับในกรณีที่เป็นเซตอื่น ๆ ได้โดยให้อยู่ในรูปแบบเดียวกันคือ  B –  A = {x|xÎ B แต่  x Ï A } , M – N = {x|xÎ M แต่  x Ï N}

          ดังนั้น ถ้าเป็น U – A = {x|xÎ U แต่  x Ï A}

          แต่เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่า สมาชิกทุกตัวต้องอยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ ดังนั้น x Î U เราไม่จำเป็นต้องเขียนก็เป็นที่รู้กัน เพราะฉะนั้นเราสามารถเขียน U – A ได้สั้น ๆ ดังนี้ 

                             U – A = {x|  xÏ A}  และนิยมใช้สัญลักษณ์  หรือ แทน U – A

          นั่นคือ U – A = = นั่นเอง และเราเรียกเซต หรือ ว่าคอมพลีเมนต์ของ A ดังนั้น

                             = = {x|  xÏ A}

          ดังนั้น จากความหมายของคอมพลีเมนต์ ถ้าเราจะกล่าวถึงเมื่อใดก็ตาม จะต้องมีเอกภพสัมพัทธ์เข้ามาเกี่ยวข้องด้วยเสมอ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราต้องการแสดงให้เห็นลักษณะของผลต่างและคอมพลีเมนต์ เราสามารถแสดงได้ดังนี้

แผนภาพต่อไปนี้ส่วนที่แรเงา แสดงถึง ผลต่าง และคอมพลีเมนต์

U

A

B

U

A

B

 

 

 

 

                  A – B                                           B – A

 

 

 

 

U

A

B

U

A

B

 

 

 

 

                B – A                                             A – B  =Æ

 

U

A

B

U

A

 

 

 

 

          A – B  =  A                                                    

         

สมบัติที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับผลต่างและคอมพลีเมนต์

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

6.      

7.      

8.      

9.       เมื่อ 

10.   เมื่อ